الموضوع النموذجي 10 · رياضيات العام (النوفيام)
على نمط امتحان شهادة ختم التعليم الأساسي العام (النوفيام): الحصّة ساعتان، الضارب 2، 5 تمارين على 20. المحاور: مسألة مساحة ومركز ثقل وهرم منتظم.
أنجز الموضوع في ساعتان على ورقة، ثمّ افتح عناصر الإجابة.
التمرين 1: أسئلة متعدّدة الاختيارات
3 نقاطلكلّ سؤال ثلاثة اقتراحات، واحد منها فقط صحيح. أنقل على ورقة تحريرك رقم السؤال والإجابة الصحيحة الموافقة له.
- العدد 2²⁰²⁶ + 2²⁰²⁵ + 2²⁰²⁴ يقبل القسمة على:أ) 4ب) 3ج) 9
- تحصّل تلميذ على 12 في مادّة ضاربها 2، وعلى 9 في مادّة ضاربها 3، وعلى 15 في مادّة ضاربها 1. معدّله هو:أ) 12ب) 11ج) 10,5
- نرمي حجر نرد متوازن أوجهه مرقّمة من 1 إلى 6. احتمال الحصول على عدد أوّلي هو:أ) 1/3ب) 2/3ج) 1/2
قابلية القسمة على 6 أو 12 أو 15خاصيات القوى والكتابة العلميةالسلاسل الإحصائية المنقطعة والمسترسلةالاحتمالات
عناصر الإجابة
- 1) 2²⁰²⁶ + 2²⁰²⁵ + 2²⁰²⁴ = 2²⁰²⁴ × (4 + 2 + 1) = 4 × 7 × 2²⁰²²: يقبل القسمة على 4. قواسمه الأوّلية 2 و 7 فقط فلا يقبل القسمة على 3 ولا على 9. الجواب (أ).
- 2) المعدّل = (12 × 2 + 9 × 3 + 15 × 1)/(2 + 3 + 1) = (24 + 27 + 15)/6 = 66/6 = 11. الجواب (ب).
- 3) الأعداد الأوّلية بين 1 و 6 هي 2 و 3 و 5: الاحتمال 3/6 = 1/2. الجواب (ج).
التمرين 2: جذور وقوى وقيمة مطلقة
3,5 نقاطنعتبر العددين الحقيقيين a = √12 − √27 + √75 و b = 6/√3.
- بيّن أنّ a = 4√3.
- بيّن أنّ b = 2√3.
- بيّن أنّ a × b = 2³ × 3 وأنّ a/b = 2.
- نعتبر العدد c = (√3 − 2)² + |1 − √3|. بيّن أنّ c = 6 − 3√3.
- بيّن أنّ 0 < c < 1.
حساب عبارات بها جذور تربيعيةخاصيات القوى والكتابة العلميةالقيمة المطلقة لعدد حقيقي وخاصياتهاالترتيب والجمع في IR
عناصر الإجابة
- 1) √12 = 2√3 و √27 = 3√3 و √75 = 5√3 إذن a = (2 − 3 + 5)√3 = 4√3.
- 2) b = 6√3/(√3 × √3) = 6√3/3 = 2√3.
- 3) a × b = 8 × 3 = 24 = 2³ × 3، و a/b = 4√3/(2√3) = 2.
- 4) (√3 − 2)² = 3 − 4√3 + 4 = 7 − 4√3، و √3 > 1 إذن |1 − √3| = √3 − 1. ومنه c = 7 − 4√3 + √3 − 1 = 6 − 3√3.
- 5) (3√3)² = 27 فـ 25 < 27 < 36 أي 5 < 3√3 < 6، ومنه 0 < 6 − 3√3 < 1.
التمرين 3: مسألة مساحة ومحيط بدلالة x
4,5 نقاط(وحدة قيس الطول هي المتر) حديقة مربّعة الشكل ABCD طول ضلعها x + 3 حيث x عدد حقيقي موجب قطعًا. في ركن الحديقة A أُنجز حوض مربّع الشكل طول ضلعه 2، وزُرع الباقي عشبًا (انظر الرسم).
- بيّن أنّ مساحة الجزء المزروع عشبًا هي S = x² + 6x + 5.
- بملاحظة أنّ S = (x + 3)² − 2²، فكّك S إلى جذاء عاملين.
- أ) تحقّق من أنّ x² + 6x − 27 = (x − 3)(x + 9).
ب) أوجد x لتكون مساحة الجزء المزروع عشبًا 32 m². - بيّن أنّ محيط الجزء المزروع عشبًا يساوي محيط الحديقة، أي P = 4x + 12.
- أوجد مجموعة قيم x التي يكون فيها هذا المحيط أصغر من 36 m أو مساويًا له.
الجذاءات المعتبرةالعبارات الجبرية: النشر والتفكيكالمعادلات من الدرجة الأولى ذات مجهول واحدالمتراجحات من الدرجة الأولى ذات مجهول واحد
عناصر الإجابة
- 1) S = مساحة الحديقة − مساحة الحوض = (x + 3)² − 4 = x² + 6x + 9 − 4 = x² + 6x + 5.
- 2) فرق مربّعين: S = (x + 3 − 2)(x + 3 + 2) = (x + 1)(x + 5).
- 3) أ) (x − 3)(x + 9) = x² + 9x − 3x − 27 = x² + 6x − 27. ب) S = 32 تعني x² + 6x − 27 = 0 أي (x − 3)(x + 9) = 0، و x > 0 فالحلّ الوحيد x = 3 (ضلع الحديقة 6 m).
- 4) حدود العشب: من الحديقة تنقص الضلعان الملاصقان للحوض (2 + 2) ويُضاف ضلعا الحوض الداخليان (2 + 2)، فالمحيط لا يتغيّر: P = 4(x + 3) = 4x + 12.
- 5) 4x + 12 ≤ 36 تعني x ≤ 6، ومع x > 0 تكون المجموعة ]0 ; 6].
التمرين 4: مركز ثقل وتجزئة قطعة مستقيم
5 نقاط(وحدة قيس الطول هي الصنتمتر) ABC مثلث حيث AB = 6 و AC = 8 و BC = 10. لتكن I منتصف [BC] و K منتصف [AB]، و G مركز ثقل المثلث ABC.
- بيّن أنّ المثلث ABC قائم في A.
- أحسب AI ثمّ AG.
- لماذا G تنتمي إلى [CK]؟ ذكّر بقيمة النسبة CG/CK.
- المستقيم الموازي لـ (AB) والمارّ من G يقطع [AC] في E و [BC] في F.
أ) بيّن أنّ CE = 16/3 و EF = 4.
ب) بيّن أنّ BF = BC/3، ثمّ استنتج طريقة لتجزئة [BC] إلى ثلاث قطع متقايسة. - بيّن أنّ (EF) ⊥ (AC) ثمّ أحسب مساحة المثلث CEF.
عناصر الإجابة
- 1) AB² + AC² = 36 + 64 = 100 = BC²، حسب عكس بيتاغور المثلث ABC قائم في A.
- 2) [AI] موسّط متعلّق بالوتر في المثلث القائم إذن AI = BC/2 = 5. G مركز الثقل على الموسّط [AI] و AG = (2/3) AI = 10/3.
- 3) [CK] موسّط في المثلث ABC، ومركز الثقل نقطة تقاطع الموسّطات فهو على [CK] و CG/CK = 2/3.
- 4) أ) (EF) // (AB)، حسب طالس في المثلث CAB (مع K ∈ [AB] و G ∈ [CK]): CE/CA = CF/CB = EF/AB = CG/CK = 2/3، إذن CE = 16/3 و EF = 4. ب) CF = (2/3) × 10 = 20/3 إذن BF = 10 − 20/3 = 10/3 = BC/3. الموازي لـ (AB) من مركز الثقل يحدّد F على ثلث [BC] من جهة B، ومنتصف [CF] هو النقطة الثانية: نحصل على ثلاث قطع طولها 10/3.
- 5) (EF) // (AB) و (AB) ⊥ (AC) إذن (EF) ⊥ (AC): المثلث CEF قائم في E ومساحته (CE × EF)/2 = (16/3 × 4)/2 = 32/3 cm².
التمرين 5: هرم منتظم ومقطع موازٍ للقاعدة
4 نقاط(وحدة قيس الطول هي الصنتمتر) SABCD هرم منتظم قاعدته المربّع ABCD الذي مركزه O وطول ضلعه 6، وارتفاعه SO = 4. لتكن I منتصف [BC].
- أحسب OA ثمّ بيّن أنّ SA = √34.
- بيّن أنّ OI = 3 وأنّ SI = 5، ثمّ بيّن أنّ (SI) ⊥ (BC) وأحسب مساحة الوجه SBC.
- أحسب حجم الهرم SABCD.
- المستوي المارّ من منتصف [SO] والموازي لقاعدة الهرم يقطعه وفق مربّع. أحسب طول ضلع هذا المربّع وحجم الهرم الصغير الناتج.
عناصر الإجابة
- 1) AC = 6√2 (قطر مربّع) و OA = AC/2 = 3√2. (SO) ⊥ (ABC) فالمثلث SOA قائم في O: SA² = 16 + 18 = 34 إذن SA = √34.
- 2) O و I منتصفا [AC] و [BC] في المثلث ABC إذن OI = AB/2 = 3. المثلث SOI قائم في O: SI² = 16 + 9 = 25 فـ SI = 5. SB = SC (هرم منتظم) فالمثلث SBC متقايس الضلعين و [SI] موسّطه فهو ارتفاعه: (SI) ⊥ (BC). مساحة الوجه (6 × 5)/2 = 15 cm².
- 3) V = (36 × 4)/3 = 48 cm³.
- 4) المقطع تصغير للقاعدة بنسبة 1/2 (طالس في الأوجه): ضلع المربّع 3. الهرم الصغير تصغير بنسبة 1/2 فحجمه 48 × 1/8 = 6 cm³ (أو (9 × 2)/3 = 6).
موضوع وعناصر إجابة من إعداد سكولار، ليس موضوعًا رسميًا. تُقبل كلّ طريقة صحيحة أخرى.
راجع الدروس المعنيّة
لكلّ درس شرح وأمثلة محلولة و6 تمارين مصحّحة.
كيف ترافقون طفلكم في موضوع الرياضيات
- نظّموا معه وقت الموضوع كما في يوم الامتحان، وشجّعوه على البدء بالتمرين الذي يرتاح إليه أكثر.
- ذكّروه بأنّ تحرير الحلّ مهمّ مثل النتيجة: الخاصّيات المستعملة والمراحل مكتوبة بوضوح.
- في الهندسة: اطلبوا منه رسمًا دقيقًا بالأدوات وتسجيل المعطيات عليه قبل البرهنة.
- لا تعطوه الحلّ عند التعثّر؛ اسألوه عن الدرس أو الخاصّية التي قد تفيد، ودعوه يعيد المحاولة.
- شجّعوه على التحقّق من النتائج (التعويض في المعادلة، معقولية القيس).
بعد أن ينجز طفلكم الموضوع، اسألوه:
- «ما الخاصّية أو القاعدة التي استعملتها في هذا السؤال؟»
- «هل تحقّقت من نتيجتك؟ كيف؟»
- «ماذا ستراجع قبل الموضوع القادم؟»
مقالات أخرى في نصائح للأولياء.